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北大绿卡九年级数学上册22.3实际问题与二次函数教案2(新版)新人教版

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实际问题与二次函数 教学目标 通过对实际问题情景的分析,能够建立二次函数的数学模型,并利用二次函数的知识求解;能根据具体问 题的实际意义检验结果是否合理. 2.经历利用二次函数解决实际问题的过程,学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到 问题,体验数学建模的思想. 3.通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际,让学生体会到学*数学的价值,从而提高学生学*数学的 兴趣,并获得成功感. 教学重点 把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题. 教学难点 读懂题意,找出相关量的数量关系,正确构建数学模型. 教学过程 一、导入新课 2 1.如何求出二次函数 y=ax +bx+c 的最小(大)值? 2 2 ①通过配方法把二次函数解析式化为 y=a(x-h) +k 的形式,当 a>0(a<0)时,抛物线 y=ax +bx+c 2 的顶点是最低(高)点,也就是说,当 x=h 时,二次函数 y=ax +bx+c 有最小(大)值 k. 2 ②利用公式,当 a>0(a<0),抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是最低(高)点,也就是说,当 x=-时,二 2 次函数 y=ax +bx+c 有最小(大)值. 2.上节课我们利用二次函数及其图象的性质解决了有关:如抛球、拱桥跨度等问题,这节课我们利用二次 函数的有关知识研究和解决有关几何面积和商品利润问题. 二、探究新知 (1)探究面积问题: 例 1.用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 S 随矩形一边长的变化而变化.当为多少米时,场地的 面积 S 最大? 解:因为矩形场地总长为 60 m 的一边长,矩形面积 S,所以另一边长为 30-,所以 S= (30-)=- +30.因 为 a= -1<0,所以当 x=- b =-=15 时,S 最大=225. 2a 2 变式 1:如图,用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 32 m,这个矩形的长、宽各为 多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为 x 米,矩形菜园的面积为 S,所以 S=x(60-2x)=-2x +60x. 因为 0<60-2x≤32,即 14≤x<30. b 60 所以当 x=- =- =15 时,S 最大=450. 2a 2×(-2) 变式 2:将问题 2 中“墙长为 32 m”改为“墙长为 18 m”,求这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? 60-x x 2 解:设矩形面积为 S m ,与墙*行的一边为 x 米,则 S= ·x=- +30x. 2 2 根据题意可得:0<x≤18. 2 2 b 由于 x=- =30>18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x=18 时,S 最大=378. 2a (2)探究商品利润问题: 例 2.某商场的一批衬衣现在的售价是 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映:如果调整价格,每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件;每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知该衬衣的进价为每件 40 元,如何 定价才能使利润最大? 分析:(1)若设每件衬衣涨价 x 元,获得的利润为 y 元,则定价为________元,每件利润为________元,每 星期少卖________件,实际卖出________件.所以 y=________. 若设每件衬衣降价 a 元,获得的利润为 y 元,则定价为________元,每件利润为________元,每星期多卖 ________件,实际卖出________件.所以 y=________. 根据两种定价可能,让学生自愿分成两组,分别计算各自的最大利润;老师巡视,及时发现学生在解答过 程中的不足,加以辅导;最后展示学生的解答过程,教师与学生共同评析. 分析:设每件涨价 x 元,则每件的利润是(60-40+x)元,所售件数是(300-10x)件,总利润为 y;设每件 降价 a 元,则每件的利润是(60-40-a)元,所售件数是(300+20a)件,总利润为 w;根据利润=每件的利 润×所售的件数,即可列出函数解析式,根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大. 解:设涨价 x 元,利润为 y, 则 y=(60-40+x)(300-10x) 2 =-10x +100x+6000 2 =-10(x-5) +6250 根据每涨价 1 元,每星期要少卖出 10 件,所售件数是(300-10x)件,300-10x≥0,x≤30, 得出自变量 x 的取值范围是:0≤x≤30; 因此当 x=5 时,y 有最大值 6250. 60+5=65 元 每件定价为 65 元时利润最大. (2)设每件降价 a 元,总利润为 w, 则 w=(60-40-a)(300+20a) 2 =-20a +100a+6000 2 =-20(a-2.5) +6125 因为每件降价 a 元,所以 0≤a≤20; 因此当 a=2.5 时,w 有最大值 6125. 每件定价为 57 元时利润最大. 综上所知每件定价为 65 元时利润最大. 归纳总结: 解决问题的一般步骤: (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 三:巩固练* 1.如图,有长为 24 米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体 的最大可用长度 10 米):如果 AB 的长为,面积为. (1)求面积与的函数关系(写出的取值范围); (2)取何值时,面积最大?面积最大是多少? 分析:(1)AB 长为 x 米,则 BC 长为:(24-3x)米,该花圃的面积为:(24-3x)x;进而得出函数关系即 可; (2)根据 x 的取值范围,判断出最大面积时 x 的取值,代入解析式便可得到最大面积. 解:(1)由题意得:y=x(24-3x), 2 即 y=-3x +24x, ∵x>0,且 10≥24



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